Question

已知橢圓的方程為,點(diǎn)分別為其左、右頂點(diǎn),點(diǎn)分別為其左、右焦點(diǎn),以點(diǎn)為圓心,為半徑作圓;以點(diǎn)為圓心,為半徑作圓；若直線被圓和圓截得的弦長之比為;

(1)求橢圓的離心率;

(2)己知a=7,問是否存在點(diǎn),使得過點(diǎn)有無數(shù)條直線被圓和圓截得的弦長之比為;若存在,請求出所有的點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)由,得直線的傾斜角為,

則點(diǎn)到直線的距離,

故直線被圓截得的弦長為,

直線被圓截得的弦長為,                  

據(jù)題意有:,即,                     

化簡得:,

解得:或,又橢圓的離心率;

故橢圓的離心率為.

(2)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,過點(diǎn)的直線為;

當(dāng)直線的斜率不存在時,直線不能被兩圓同時所截;

故可設(shè)直線的方程為,

則點(diǎn)到直線的距離,

由(1)有,得=,

故直線被圓截得的弦長為,                      

則點(diǎn)到直線的距離,

,故直線被圓截得的弦長為,               

據(jù)題意有:,即有,整理得,

即,

所以4|―7k―km+n|=3|7k-km+n|,

即4(―7k―km+n)=3(7k-km+n)或4(―7k―km+n)=-3(7k-km+n),

也就是(49+m)k-n=0或(1+m)k-n=0與k無關(guān).

于是或,

故所求點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)或(-49,0).    

方法二 對式兩邊平方整理成關(guān)于的一元二次方程得

,                  

關(guān)于的方程有無窮多解,

故有:,

故所求點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)或(-49,0).                             

(注設(shè)過P點(diǎn)的直線為后求得P點(diǎn)坐標(biāo)同樣得分)