Question

18．設(shè)F₁、F₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，MF₁⊥MF₂，且|MF₂|=|MO|（其中點(diǎn)O為橢圓的中心），則該橢圓的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：△OMF₂為等邊三角形，∠OF₂M=60°，|MF₂|=c，丨MF₁丨=$\sqrt{3}$c，丨MF₁丨+|MF₂|=2a=$\sqrt{3}$c+c=（$\sqrt{3}$+1）c，a=$\frac{（\sqrt{3}+1）}{2}$，由橢圓的離心率公式即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意可知：MF₁⊥MF₂，則△F₁MF₂為直角三角形，
由|MF₂|=|MO|，
O為F₁F₂中點(diǎn)，則丨OM丨=丨OF₂丨，
∴△OMF₂為等邊三角形，∠OF₂M=60°
∴|MF₂|=c，
∴丨MF₁丨=$\sqrt{3}$c，
由橢圓的定義可知：
丨MF₁丨+|MF₂|=2a=$\sqrt{3}$c+c=（$\sqrt{3}$+1）c，a=$\frac{（\sqrt{3}+1）}{2}$，
則該橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}c}$=$\sqrt{3}$-1，
該橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直角三角形的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．