Question

16．在極坐標(biāo)系Ox中，Rt△OPQ的頂點O、P、Q按逆時針方向排列，∠OPQ=$\frac{π}{2}$，∠POQ=$\frac{π}{3}$，點P在曲線C₁：ρ=2cosθ上運動（異于極點O）．
（1）當(dāng)點P的極坐標(biāo)為$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，求點Q的極坐標(biāo)；
（2）判斷點Q的軌跡C₂是何種曲線，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖所示．當(dāng)點P的極坐標(biāo)為$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，點Q的極徑為2$\sqrt{2}$，極角為$\frac{π}{4}+\frac{π}{3}$．可得極坐標(biāo)．
（2）點P在曲線C₁：ρ=2cosθ上運動，∠OPQ=$\frac{π}{2}$，∠POQ=$\frac{π}{3}$，可得點Q的極坐標(biāo)為$（4cosθ，θ+\frac{π}{3}）$．可得x=4cosθ$cos（θ+\frac{π}{3}）$，y=4cosθ$sin（θ+\frac{π}{3}）$，θ∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$．化簡即可得出．

解答 解：（1）如圖所示．當(dāng)點P的極坐標(biāo)為$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，
點Q的極坐標(biāo)為$（2\sqrt{2}，\frac{7π}{12}）$．
（2）∵點P在曲線C₁：ρ=2cosθ上運動，∠OPQ=$\frac{π}{2}$，∠POQ=$\frac{π}{3}$，
∴點Q的極坐標(biāo)為$（4cosθ，θ+\frac{π}{3}）$．
可得x=4cosθ$cos（θ+\frac{π}{3}）$，y=4cosθ$sin（θ+\frac{π}{3}）$，θ∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$．
∴x²+y²=±2$（x+\sqrt{3}y）$，配方為：$（x+1）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}$=4，或$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4．
為兩個圓．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程及其應(yīng)用、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．