已知二次函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R)滿足f(1)=0,且關(guān)于x的方程f(x)+x+b=0的兩實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間(-3,-2),(0,1)內(nèi).
(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(2)若函數(shù)F(x)=logbf(x)在區(qū)間(-1-c,1-c)上具有單調(diào)性,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
分析:(1)利用g(-2)=<0,g(-3)>0、g(0)<0、g(1)>0,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(2)f(x)在區(qū)間(-1-c,1-c)上為增函數(shù),F(xiàn)(x)=logbf(x)在(-1-c,1-c)上為減函數(shù),利用(1)求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
解答:解:(1)由題意知f(1)=1+2b+c=0,
∴c=-1-2b
記g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-b-1
則g(-3)=5-7b>0
g(-2)=1-5b<0∴
1
5
<b<
5
7

g(0)=-1-b<0
g(1)=b+1>0  即b∈(
1
5
5
7
).(7分)
(2)令u=f(x).∵0<
1
5
<b<
5
7
<1

∴l(xiāng)ogbu在(0,+∞)是減函數(shù)
而-1-c=2b>-b,函數(shù)f(x)=x2+2bx+c的對稱軸為x=-b
∴f(x)在區(qū)間(-1-c,1-c)上為增函數(shù),
從而F(x)=logbf(x)在(-1-c,1-c)上為減函數(shù)
且f(x)在區(qū)間(-1-c,1-c)上恒有f(x)>0,
只需f(-1-c)≥0,
且c=-2b-1  (
1
5
<b<
5
7
) 所以-
17
7
<c≤-2
.(13分)
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性,一元二次方程根的分布于系數(shù)的關(guān)系,考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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