Question

已知函數(shù)，
（1）若方程f（x）=0有正根，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=|xf（x）|，且g（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）方程有正根?方程x²-ax+a=0有正根．△=a²-4a
①當(dāng)△=0，即a=0或a=4時，經(jīng)檢驗a=4符合題意．
②當(dāng)△＞0，即a＞4或a＜0時，設(shè)方程x²-ax+a=0的兩個根為x₁、x₂，
∵a＞4時，使得成立，所以a＞4符合題意∵a＜0時，使得x₁x₂＜0成立，所以a＜0符合題意．
綜上，a≥4或a＜0
（2）
①當(dāng)即0≤a≤4時，g（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，又已知g（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，
∴即a≥2，
∴2≤a≤4
②當(dāng)即a＞4或a＜0時，設(shè)方程g（x）=0的兩根為x₁，x₂且x₁＜x₂，此時g（x）
在區(qū)間（-∞，x₁]或區(qū)間上是減函數(shù)，若[0，1]?（-∞，x₁]，則得a＞2
∴a＞4
若[0，1]?，則此時a不存在
綜上，a≥2
分析：（1）根據(jù)方程f（x）=0有正根，轉(zhuǎn)化為方程x²-ax+a=0有正根，對方程進(jìn)行有異號根，和兩正根或一零根一正根進(jìn)行討論，即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）求出并配方得，根據(jù)g（x）的圖象特征，分和時進(jìn)行討論，即可求得結(jié)果．
點評：本題考查一元二次方程的根的情況以及y=|f（x）|函數(shù)的圖象特點，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算能力和靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，屬難題．