Question

3．函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，$f（x）=\frac{-ax-b}{1+x}$，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{3}$．
（1）求a，b的值及f（x）的解析式；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性．
（3）若f（x-1）+f（x）＞0，求x的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求出b=0，根據(jù)f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$，求出a的值，從而求出函數(shù)在定義域上的解析式即可；
（2）計(jì)算△x，△y的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)性即可；
（3）結(jié)合題意得到關(guān)于x的不等式組，求出x的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）是奇函數(shù)，f（0）=0，
f（0）=-b=0，故b=0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{-\frac{1}{2}a}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，解得：a=-1，
x∈（-1，0）時(shí)，-x∈[0，1）且f（x）是奇函數(shù)，
故f（-x）=$\frac{-x}{1-x}$=-f（x），
∴f（x）=$\frac{x}{1-x}$，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{1+x}，x∈[0，1）}\\{\frac{x}{1-x}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$；
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁＞0，
△y=$\frac{{x}_{2}（1{+x}_{1}）{-x}_{1}（1{+x}_{2}）}{（1{+x}_{2}）（1{+x}_{1}）}$=$\frac{△x}{（1{+x}_{2}）（1{+x}_{1}）}$，
∵x₁，x₂∈（0，1），
∴（1+x₂）（1+x₁）＞0，△x＞0，∴△y＞0，
∴f（x）在（0，1）遞增，
又f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）在（-1，0）遞增，
綜上，f（x）在（-1，1）遞增；
（3）f（x）是（-1，1）上的增函數(shù)，且f（x-1）+f（x）＞0，
∴f（x-1）＞-f（x）=f（-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-1＜1}\\{-1＜-x＜1}\\{x-1＞-x}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
故x的范圍是（$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問(wèn)題，是一道中檔題．