Question

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
（1）求點(diǎn)M（2，

π

3

）到直線ρ=

3

sinθ+cosθ

上點(diǎn)A的距離的最小值．
（2）求曲線C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ為參數(shù))關(guān)于直線y=1對(duì)稱(chēng)的曲線的參數(shù)方程．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)M（2，

π

3

）化為直角坐標(biāo)M(2cos

π

3

，2sin

π

3

)即M(1，

3

)．直線ρ=

3

sinθ+cosθ

即ρsinθ+ρcosθ=

3

，化為直角坐標(biāo)方程x+y-

3

=0．則點(diǎn)M(1，

3

)到直線上的點(diǎn)A的距離的最小值為點(diǎn)M到直線的距離．
（2）設(shè)曲線C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ為參數(shù))關(guān)于直線y=1對(duì)稱(chēng)的曲線上的點(diǎn)為P（x，y），則點(diǎn)P關(guān)于直線y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（x，2-y），此點(diǎn)在曲線C上，可得

x=-1+cosθ 2-y=sinθ

，即可．

解答：解：（1）點(diǎn)M（2，

π

3

）化為直角坐標(biāo)M(2cos

π

3

，2sin

π

3

)即M(1，

3

)．
直線ρ=

3

sinθ+cosθ

即ρsinθ+ρcosθ=

3

，化為直角坐標(biāo)方程x+y-

3

=0．
則點(diǎn)M(1，

3

)到直線上的點(diǎn)A的距離的最小值為d=

|1+ 3 - 3 |

2

=

2

2

．
∴點(diǎn)M（2，

π

3

）到直線ρ=

3

sinθ+cosθ

上點(diǎn)A的距離的最小值是

2

2

．
（2）設(shè)曲線C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ為參數(shù))關(guān)于直線y=1對(duì)稱(chēng)的曲線上的點(diǎn)為P（x，y），
則點(diǎn)P關(guān)于直線y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（x，2-y），此點(diǎn)在曲線C上，
∴

x=-1+cosθ 2-y=sinθ

，化為

x=-1+cosθ y=2-sinθ

即為所求曲線C關(guān)于直線y=1對(duì)稱(chēng)的曲線的參數(shù)方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、曲線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)曲線、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．