Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）．記bn=

1

an- 1 2

(n≥1)．
（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（法一）（I）由a₁結(jié)合遞推公式可求a₂，a₃，a₄，代入bn=

1

an- 1 2

求b₁，b₂，b₃，b₄
（II）先由（I）中求出的b₁，b₂，b₃，b₄的值，觀察規(guī)律可猜想數(shù)列bn-

4

3

為等比數(shù)列，進(jìn)而可求b_n，結(jié)合bn=

1

an- 1 2

?bn+1-

4

3

=2(bn-

4

3

)，從而猜想得以證明，代入求出a_n•b_n，進(jìn)而求出前n和s_n
（法二）（I）由bn=

1

an- 1 2

? an=

1

bn

+

1

2

代入遞推公式可得bn+1=2bn-

4

3

，代入可求b₁，b₂，b₃，b₄
（II）利用（I）中的遞推關(guān)系個(gè)構(gòu)造數(shù)列{{b為等比數(shù)列，從而可求b_n，s_n
（法三）（I）同法一
（II）先由（I）中求出的b₁，b₂，b₃，b₄的值，觀察規(guī)律可猜想數(shù)列b_n+1-b_n為等比數(shù)列，仿照法一再證明猜想，根據(jù)求通項(xiàng)的方法求b_n，進(jìn)一步求s_n

解答：解：法一：
（I）a₁=1，故b1=

1

1- 1 2

=2；a2=

7

8

，
故b2=

1

7 8 - 1 2

=

8

3

；a3=

3

4

，
故b3=

1

3 4 - 1 2

=4；a4=

13

20

，
故b4=

20

3

．

（II）因(b1-

4

3

)(b3-

4

3

)=

2

3

×

8

3

=(

4

3

)2，(b2-

4

3

)2=(

4

3

)2，(b1-

4

3

)(b3-

4

3

)=(b2-

4

3

)2
故猜想{bn-

4

3

}是首項(xiàng)為

2

3

，公比q=2的等比數(shù)列．
因a_n≠2，（否則將a_n=2代入遞推公式會(huì)導(dǎo)致矛盾）故an+1=

5+2a

16-8an

(n≥1)．
因bn+1-

4

3

=

1

an+1- 1 2

-

4

3

=

16-8an

6an-3

-

4

3

=

20-16an

6an-3

，
2(bn-

4

3

)=

2

an- 1 2

-

8

3

=

20-16an

6an-3

=bn+1-

4

3

，b1-

4

3

≠0，
故|bn-

4

3

|確是公比為q=2的等比數(shù)列．
因b1-

4

3

=

2

3

，故bn-

4

3

=

1

3

•2n，bn=

1

3

•2n+

4

3

(n≥1)，
由bn=

1

an- 1 2

得anbn=

1

2

bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

2

(b1+b2++bn)+n=

1 3 (1-2n)

1-2

+

5

3

n=

1

3

(2n+5n-1)

法二：
（Ⅰ）由bn=

1

an- 1 2

得an=

1

bn

+

1

2

，代入遞推關(guān)系8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0，
整理得

4

bn+1bn

-

6

bn+1

+

3

bn

=0，即bn+1=2bn-

4

3

，
由a₁=1，有b₁=2，所以b2=

8

3

，b3=4，b4=

20

3

．

（Ⅱ）由bn+1=2bn-

4

3

，bn+1-

4

3

=2(bn-

4

3

)，b1-

4

3

=

2

3

≠0，
所以{bn-

4

3

}是首項(xiàng)為

2

3

，公比q=2的等比數(shù)列，
故bn-

4

3

=

1

3

•2n，即bn=

1

3

•2n+

4

3

(n≥1)．
由bn=

1

an- 1 2

，得anbn=

1

2

bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

2

(b1+b2++bn)+n=

1 3 (1-2n)

1-2

+

5

3

n=

1

3

(2n+5n-1)．

法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）b2-b1=

2

3

，b3-b2=

4

3

，b4-b3=

8

3

，

2

3

×

8

3

=(

4

3

)2猜想{b_n+1-b_n}是首項(xiàng)為

2

3

，
公比q=2的等比數(shù)列，bn+1-bn=

1

3

•2n
又因a_n≠2，故an+1=

5+2an

16-8an

(n≥1)．
因此bn+1-bn=

1

an+1- 1 2

-

1

an- 1 2

=

1

5+2an 16-8an - 1 2

-

2

2an-1

=

16-8an

6an-3

-

6

6an-3

=

10-8an

6an-3

；
bn+2-bn+1=

1

an+2- 1 2

-

1

an+1- 1 2

=

16-8an+1

6an+1-3

-

16-8an

6an-3

=

36-24an

6an-3

-

16-8an

6an-3

=

20-16an

6an-3

=2(bn+1-bn)．
因b2-b1=

2

3

≠0，{bn+1-bn}是公比q=2的等比數(shù)列，bn+1-bn=

1

3

•2n，
從而b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=

1

3

(2n-1+2n-2++21)+2
=

1

3

(2n-2)+2
=

1

3

•2n+

4

3

(n≥1)．
由bn=

1

an- 1 2

得anbn=

1

2

bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

2

(b1+b2++bn)+n=

1 3 (1-2n)

1-2

+

5

3

n=

1

3

(2n+5n-1)．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的綜合運(yùn)用：遞推關(guān)系的運(yùn)用，構(gòu)造等比求數(shù)列通項(xiàng)，累加求通項(xiàng)，歸納推理的運(yùn)用，綜合考查了考生的推理運(yùn)算能力．