已知ABCD為圓內接四邊形,AB⊥AD,延長BC、AD相交于點E,過三點D、C、E的圓與BD的延長線交于點F.
求證:EC•EB-DB•DF=DE2

【答案】分析:根據(jù)內接四邊形的性質可得到∠BCD=90°,已知CDEF為圓內接四邊形,所以∠BCD=∠DFE,從而即可根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似得到△DEF∽△DAB,根據(jù)相似三角形的邊對應成比例,最后兩個比例式相減即可得到結論.
解答:證明:因為ABCD為圓內接四邊形,AB⊥AD,根據(jù)圓內接四邊形對角互補,得∠BCD=90°,
由題意得,CDEF為圓內接四邊形,所以∠BCD=∠DFE,
所以∠BAD=∠DFE,
所以△DEF∽△DAB,
,∴DB•DF=DA•DE,
又EC•EB=ED•EA,
∴EC•EB-DB•DF=ED•EA-DA•DE=DE•(EA-DA)=DE2
點評:此題考查了與圓有關的比例線段,主要考查學生對圓內接四邊形的性質及相似三角形的判定的綜合運用.
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