Question

某同學在研究函數(shù)時，分別給出下面幾個結論：
①等式f（-x）+f（x）=0對x∈R恒成立；
②若f（x₁）≠f（x₂），則一定有x₁≠x₂；
③若m＞0，方程|f（x）|=m有兩個不等實數(shù)根；
④函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確結論的序號有________．（請將你認為正確的結論的序號都填上）

Answer 1

①②
分析：①因為是奇函數(shù)，所以f（-x）+f（x）=0對x∈R恒成立；②可以定義證明f（x）為單調遞增函數(shù)，所以f（x₁）≠f（x₂），則一定有x₁≠x₂成立；③因為f（x）為單調遞增函數(shù)，所以方程|f（x）|=m不可能有兩個不等的實數(shù)根；④可以判斷g（x）為奇函數(shù)，并且g（x）在（-∞，0）上單調遞減，即g（x）在（-∞，0）上g（x）＞0，在（0，+∞）上單調遞減，即g（x）在（0，+∞）上g（x）＜0，故函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上只有一個零點．
解答：由題意知
①因為，所以是奇函數(shù)，故f（-x）+f（x）=0對x∈R恒成立，即①正確；
②則當x＞0時，f（x）=反比例函數(shù)的單調性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，從而f（x）為單調遞增函數(shù)，
所以f（x₁）≠f（x₂），則一定有x₁≠x₂成立，故命題錯誤；
③因為f（x）為單調遞增函數(shù)，所以|f（x）|為偶函數(shù)，因為f（x）在（0，+∞）為單調遞增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調遞減，且0≤|f（x）|＜1，所以當0＜m＜1時有兩個不相等的實數(shù)根，當m≥1時不可能有兩個不等的實數(shù)根，故本命題錯誤；
④可以判斷g（x）為奇函數(shù)，并且g（x）在（-∞，0）上單調遞減，即g（x）在（-∞，0）上g（x）＞0，在（0，+∞）上單調遞減，即g（x）在（0，+∞）上g（x）＜0，故函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有一個零點．錯誤
故答案為：①②．
點評：本題考查函數(shù)的定義域，單調性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個問題在研究時往往是同時考慮的．