Question

設a∈R，（ax-1）⁸的二項展開式中含x³項的系數(shù)為7，則

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

 

．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì),極限及其運算

專題：計算題,二項式定理

分析：在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得x³的系數(shù)，再根據(jù)x³項的系數(shù)為7，求得實數(shù)a的值，進而可求極限．

解答： 解：由于（ax-1）⁸展開式的通項公式為T_r+1=

C

r 8

•a^8-r•x^8-r•（-1）^r，
令8-r=3，解得r=5，故（ax-1）⁸展開式中x³的系數(shù)為-

C

5 8

•a³=7，
解得a=-

1

2

，
∴

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

- 1 2

1+ 1 2

=-

1

3

．
故答案為：-

1

3

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．