【題目】已知拋物線的焦點為F,過焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,設AB的中點為M,A,B,M在準線上的射影分別為C,D,N.
(1)求直線FN與直線AB的夾角的大。
(2)求證:點B,O,C三點共線.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)先設A(x1,y1)、B(x2,y2)、中點M(x0,y0),利用斜率公式得出kFNy0,再分類討論:當x1=x2時,顯然FN⊥AB;當x1≠x2時,證出kFNkAB=﹣1.從而知FN⊥AB成立,即可得出結論.
(2)將焦點弦AB的直線的方程代入拋物線的方程,消去x得到關于y的一元二次方程,再結合直線斜率的關系即可證得B、O、C三點共線,從而解決問題.
(1)設A(x1,y1)、B(x2,y2)、中點M(x0,y0),焦點F的坐標是(1,0).
N(﹣1,y0),∴kFNy0,
當x1=x2時,顯然FN⊥AB;
當x1≠x2時,kAB,
∴kFNkAB=﹣1.
∴FN⊥AB.綜上所述知FN⊥AB成立,
即直線FN與直線AB的夾角θ的大小為90°;
(2)由x=my+1與拋物線方程聯(lián)立,可得y2﹣4my﹣4=0,∴y1y2=﹣4,
∴A在準線上的射影為C,
∴C(﹣1,y1),∴kOC=﹣y1,
∵kOB,y1y2=﹣4,
∴kOB=kOC,∴點B、O、C三點共線.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】惠州市某商店銷售某海鮮,經(jīng)理統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的日需求量(,單位:公斤),其頻率分布直方圖如下圖所示.該海鮮每天進貨1次,每銷售1公斤可獲利40元;若供大于求,剩余的海鮮削價處理,削價處理的海鮮每公斤虧損10元;若供不應求,可從其它商店調(diào)撥,調(diào)撥的海鮮銷售1公斤可獲利30元.假設商店該海鮮每天的進貨量為14公斤,商店銷售該海鮮的日利潤為元.
(1)求商店日利潤關于日需求量的函數(shù)表達式.
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,
①估計這50天此商店該海鮮日需求量的平均數(shù).
②假設用事件發(fā)生的頻率估計概率,請估計日利潤不少于620元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)2020年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為60%,通過模擬實驗的方法來計算該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率:用隨機數(shù)(,且)表示是否下雨:當時表示該地區(qū)下雨,當時,表示該地區(qū)不下雨,從隨機數(shù)表中隨機取得20組數(shù)如下
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
(1)求出的值,并根據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率;
(2)從2011年開始到2019年該地區(qū)清明節(jié)當天降雨量(單位:)如下表:(其中降雨量為0表示沒有下雨).
時間 | 2011年 | 2012年 | 2013年 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 | 2019年 |
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
降雨量 | 29 | 28 | 26 | 27 | 25 | 23 | 24 | 22 | 21 |
經(jīng)研究表明:從2011年開始至2020年, 該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份成線性回歸,求回歸直線,并計算如果該地區(qū)2020年()清明節(jié)有降雨的話,降雨量為多少?(精確到0.01)
參考公式:.
參考數(shù)據(jù):,,
,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司為了預測下月產(chǎn)品銷售情況,找出了近7個月的產(chǎn)品銷售量(單位:萬件)的統(tǒng)計表:
月份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
銷售量(萬件) |
但其中數(shù)據(jù)污損不清,經(jīng)查證,,.
(1)請用相關系數(shù)說明銷售量與月份代碼有很強的線性相關關系;
(2)求關于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(3)公司經(jīng)營期間的廣告宣傳費(單位:萬元)(),每件產(chǎn)品的銷售價為10元,預測第8個月的毛利潤能否突破15萬元,請說明理由.(毛利潤等于銷售金額減去廣告宣傳費)
參考公式及數(shù)據(jù):,相關系數(shù),當時認為兩個變量有很強的線性相關關系,回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,、為橢圓的左、右焦點,為橢圓上一點,且.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設直線,過點的直線交橢圓于、兩點,線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點,當最小時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈,要求燈柱AB與底面垂直,燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂直,路燈C采用錐形燈罩,射出的管線與平面ABC部分截面如圖中陰影所示,路寬AD=24米,設
(1)求燈柱AB的高h(用表示);
(2)此公司應該如何設置的值才能使制作路燈燈柱AB和燈桿BC所用材料的總長度最。孔钚≈禐槎嗌伲
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線,相鄰對稱軸之間的距離為,且函數(shù)在處取得最大值,則下列命題正確的個數(shù)為( )
①當時,m的取值范圍是;②將的圖象向左平移個單位后所對應的函數(shù)為偶函數(shù);③函數(shù)的最小正周期為;④函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點.
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),斜率為的直線與相切于點.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當實數(shù)時,討論的極值點.
(Ⅲ)證明:.
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