Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點D在AB上．
（Ⅰ）求證：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）當時，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證明線與線垂直，根據(jù)所給的直三棱柱的側(cè)棱與底面垂直和根據(jù)三條邊長得到的勾股定理，得到線面垂直，進而得到線線垂直．
（II）要證明線面平行，根據(jù)線面平行的判定定理，首先證明線與線平行，要寫清楚兩條線段的位置，得到結(jié)論．
（III）以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz，寫出要用的點的坐標，構(gòu)造向量，根據(jù)線段的比值，得到向量的坐標，設出法向量，求出法向量，根據(jù)向量所成的角做出二面角．
解答：證明：（Ⅰ）在△ABC中，因為AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC²+BC²=AB²，所以AC⊥BC．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以CC₁⊥AC．
因為BC∩AC=C，
所以AC⊥平面BB₁C₁C．
所以AC⊥B₁C．
（Ⅱ）證明：連接BC₁，交B₁C于E，DE．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，
所以側(cè)面BB₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，
所以DE∥AC₁．
因為DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
所以AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，
所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．
則B（3，0，0），A（0，4，0），A₁（0，0，c），B₁（3，0，4）．
設D（a，b，0）（a＞0，b＞0），
因為點D在線段AB上，且，即．
所以a=2，，．
所以，，．
平面BCD的法向量為．
設平面B₁CD的法向量為，
由，，得，
所以，y=2，．
設二面角B-CD-B₁的大小為θ，
所以．
所以二面角B-CD-B₁的余弦值為．
點評：本題考查空間中直線與平面之間的平行和垂直關(guān)系，用空間向量求解兩個平面的夾角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標系，把理論的推導轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運算．