Question

16．設(shè)函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x＞0時，xf'（x）-f（x）＜0成立，則f（x）＞0的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1）．

Answer 1

分析 由已知當(dāng)x＞0時總有xf′（x）-f（x）＞0成立，可判斷函數(shù)g（x）為增函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，而不等式f（x）＞0等價于xg（x）＞0，分類討論即可求出．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：
g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，
即當(dāng)x＞0時，g′（x）恒小于0，
∴當(dāng)x＞0時，函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$為減函數(shù)，
又∵g（-x）=g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)
又∵g（-1）=$\frac{f（-1）}{-1}$=0，
∴函數(shù)g（x）的大致圖象如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0
?$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$，
?0＜x＜1或x＜-1．
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1）．
故答案為：（-∞，-1）∪（0，1）

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式的應(yīng)用問題，是綜合題目．