Question

已知a≥0，函數f(x)=(x²-2ax)e^x，
（Ⅰ）當x為何值時，f(x)取得最小值？證明你的結論；
（Ⅱ）設f(x)在[-1，1]上是單調函數，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）令f′(x)=0，即[x²-2(a-1)x-2a]e^x=0，
∴x²-2(a-1)x-2a=0，
∵△=[2(a-1)]²+8a=4(a²+1)＞0，
∴x₁=，x₂=，
又∵當x∈(-∞，)時，f′(x)＞0；
當x∈(，)時，f′(x)＜0；
當x∈(，+∞)時，f′(x)＞0，
∴x₁，x₂分別為f (x)的極大值與極小值點，
又∵；當x→+∞時，f (x)→+∞，
而，
∴當x=時，f (x)取得最小值。
（Ⅱ）f (x)在[-1，1]上單調，則f′(x)≥0(或≤0)在[-1，1]上恒成立，
而f′(x)=[x²-2(a-1)x-2a]e^x，
令g(x)= x²-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]²-(a²+1)，
∴f′(x)≥0(或≤0)即g(x)≥0(或≤0)，
當g(x)≥0在[-1，1]上恒成立時，有
①當-1≤a-1≤1即0≤a≤2時，g(x)_min=g(a-1)=-(a²+1)≥0(舍)；
②當a-1＞1即a≥2時，g(x)_min=g(1)=3-4a≥0，∴a≤(舍)；
當g(x)≤0在[-1，1]上恒成立時，有
①當-1≤a-1≤0即0≤a≤1時，g(x)_max=g(1)=3-4a ≤0，∴≤a≤1；
②當0＜a-1≤1即1＜a≤2時，g(x)_max=g(-1)=-1≤0，∴1＜a≤2；
③當1＜a-1即a＞2時，g(x)_max=g(-1)=-1≤0，∴a＞2；
故a∈[，+∞) 。