Question

已知直線y=ａx+1與雙曲線３x²-y²=1交于A、B兩點(diǎn),(1)若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱?若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解:(1)由消去y,得(3-a²)x²-2ax-2=0.①

依題意

即且.    ②

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則

∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn),∴OA⊥OB.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

但y₁y₂=a²x₁x₂+a(x₁+x₂)+1,

由③④,,.

∴.

解得a=±1且滿足②.

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使A、B關(guān)于對(duì)稱,則直線y=ax+1與垂直,

∴a,即a=-2.

直線l的方程為y=-2x+1.

將a=-2代入③得x₁+x₂=４.

∴AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,

縱坐標(biāo)為y=-2×2+1=-3.

但AB中點(diǎn)(2,-3)不在直線上,

即不存在實(shí)數(shù)a,使A、B關(guān)于直線對(duì)稱.