Question

已知函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

（x∈R）是奇函數(shù)，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，由此可求得a值；
（Ⅱ）由y=1-

2

2x+1

得2^x=

y+1

1-y

，由2^x＞0，得

y+1

1-y

＞0，解出即得值域；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可作出判斷．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）在R上是奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即a-

2

20+1

=0，解得a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=1-

2

2x+1

，
由y=1-

2

2x+1

得2^x=

y+1

1-y

，
因?yàn)閤∈R，所以2^x＞0，所以

y+1

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
所以f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．
（Ⅲ）f（x）在R上是增函數(shù)，
任取x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
因?yàn)閤₁＜x₂，所以2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查奇偶性的應(yīng)用、單調(diào)性的判斷及函數(shù)值域的求解，考查學(xué)生解決問題的能力．