Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

4

-

y2

9

=1的左右焦點，AB是過F₁的一條弦（A、B均在雙曲線的左支上）．
（1）若△ABF₂的周長為30，求|AB|；
（2）若∠F1AF2=

π

3

，求△F₁AF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）算出雙曲線a、b、c的值，根據(jù)雙曲線的定義證出|AF₂|+|BF₂|=|AB|+8，由△ABF₂的周長為30，代入前面的等式得到關于|AB|的方程，解之即可得到|AB|的值；
（2）若∠F1AF2=

π

3

，在△F₁AF₂利用余弦定理，結合雙曲線的定義與焦距為2

13

化簡，得到|AF₁|•|AF₂|=36，再利用三角形的面積公式加以計算，即可得到△F₁AF₂的面積．

解答：解：（1）∵雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

9

=1，
∴a=2，b=3，可得c=

a2+b2

=

13

．
由雙曲線定義，得|AF₂|-|AF₁|=4且|BF₂|-|BF₁|=4，
由此可得|AF₂|+|BF₂|-|AB|=（|AF₂|-|AF₁|）+（|BF₂|-|BF₁|）=8，
∴|AF₂|+|BF₂|=|AB|+8，
可得△ABF₂周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|=2|AB|+8=30，解之得|AB|=11；（2）∵△AF₁F₂中，∠F1AF2=

π

3

，
∴根據(jù)余弦定理，可得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|•cos∠F1AF2
=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|•

1

2

=(|AF1| -|AF2|)2+|AF1|•|AF2|，
∵|F₁F₂|=2c=2

13

，|AF₂|-|AF₁|=2a=4
∴4×13=16+|AF₁|•|AF₂|，解之得|AF₁|•|AF₂|=36．
因此，△F₁AF₂的面積S=

1

2

|AF1|•|AF2|×sin

π

3

=

1

2

×36×

3

2

=9

3

．

點評：本題著重考查了雙曲線的定義與標準方程、雙曲線的簡單性質(zhì)、利用余弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．