精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長(zhǎng)都等于a,E是BB1的中點(diǎn).
(1)求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值;
(2)求證:平面AEC1⊥平面ACC1A1;
(3)求點(diǎn)C1到平面AEC的距離.
分析:(1)由題意取A1B1中點(diǎn)M,再證明C1M⊥平面A1ABB1,即∠C1BM是所求的角,在Rt△BMC1中求解;
(2)取A1C1的中點(diǎn)D1,AC1的中點(diǎn)F,再證D1FEB1是平行四邊形和B1D1⊥平面ACC1A1,即得EF⊥平面ACC1A1,故證出面面垂直;
(3)由(2)知EF是三棱錐E-ACC1的高,求出EF的長(zhǎng),再利用換低公式和體積相等求出點(diǎn)C1到平面AEC的距離.
解答:(1)解:取A1B1中點(diǎn)M,連接C1M,BM.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
∴C1M⊥A1B1,C1M⊥BB1
∴C1M⊥平面A1ABB1
∴∠C1BM為直線C1B與平面A1ABB1所成的角.
在Rt△BMC1中,C1M=
3
2
a,BC1=
2
a,
∴sin∠C1BM=
C1M
BC1
=
6
4
精英家教網(wǎng)
(2)證明:取A1C1的中點(diǎn)D1,AC1的中點(diǎn)F,連接B1D1、EF、D1F.
則有D1F
.
1
2
AA1,B1E
.
1
2
AA1
∴D1F
.
B1E.
則四邊形D1FEB1是平行四邊形,
∴EF
.
B1D1
由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
∴B1D1⊥A1C1
又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1,且B1D1?平面A1B1C1,
∴B1D1⊥平面ACC1A1,∴EF⊥平面ACC1A1
∵EF?平面AEC1,∴平面AEC1⊥平面ACC1A1
(3)由(2)知,EF⊥平面AC1,則EF是三棱錐E-ACC1的高.
由三棱柱各棱長(zhǎng)都等于a,則EC=AE=EC1=
5
2
a,AC1=
2
a.
∴EF=
AE2-AF2
=
3
2
a.
∵V_C1-AEC=V_E-ACC1,設(shè)三棱錐V_C1-AEC的高為h,則h為點(diǎn)C1到平面AEC的距離.
1
3
S△AEC•h=
1
3
S_△ACC1•EF,
1
3
×
1
2
a2h=
1
3
×
1
2
a2
3
2
a.
∴h=
3
2
a,即點(diǎn)C1到平面AEC的距離是
3
2
a.
點(diǎn)評(píng):本題考查了用面面垂直的性質(zhì)定理作出線面角再來(lái)求解,用面面垂直的判定定理證明面面垂直,求點(diǎn)到面的距離可用體積相等和換底求解;考查了轉(zhuǎn)化思想和推理論證能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF的長(zhǎng)是( 。
A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•鄭州二模)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)O為AB1上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)OD∥平面ABC時(shí),求
AOOB1
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中(注:底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直),BC=CC1=2,P,Q分別為BB1,CC1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求多面體ABC-A1PC1的體積;
(Ⅱ)求A1Q與BC1所成角的大小.

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