Question

已知定義在R上的函數f（x）的導函數f′（x），滿足f′（x）＜f（x），f（2+x）=f（2-x），f（4）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　�。�

• A、（-2，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、（1，+∞）
• D、（4，+∞）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由題意知，f（0）=1，再令g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），從而求導g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

＜0，從而可判斷y=g（x）單調遞減，從而可得到不等式的解集．

解答： 解：∵f（2+x）=f（2-x），
∴f（4）=f（0）=1；
設g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），則g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

，
又∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0；
∴y=g（x）單調遞減，
而當x=0時，g（0）=

f(0)

e0

=1；
故當x＞0時，g（x）＜1，當x＜0時，g（x）＞1，
故當x＞0時，有f（x）＜e^x；
故不等式的解集為（0，+∞），
故選：B．

點評：本題考查了導數的綜合應用及函數的性質的應用，屬于中檔題．