Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓O：x2+y2=4與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，以A為圓心的圓A：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）與圓O交于B，C兩點(diǎn)．

（1）若直線(xiàn)l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)線(xiàn)段DE長(zhǎng)最小時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（2）設(shè)P是圓O上異于B，C的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)PB、PC分別與x軸交于點(diǎn)M和N，問(wèn)OMON是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為 + =1（a＞0，b＞0），

即bx+ay﹣ab=0，

由直線(xiàn)l與圓O相切得 ，

即 ，

，

（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)），

此時(shí)直線(xiàn)l的方程為 ．

（2）設(shè)B（x0，y0），P（x1，y1）（y1≠±y0），

則C（x0，﹣y0）， ， ，

直線(xiàn)PB的方程為： ，

直線(xiàn)PC的方程為： ，

分別令y=0，得 ，

所以O(shè)MON= 為定值．

【解析】（1）根據(jù)截距式設(shè)出直線(xiàn)方程l，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，可得到，再表示出DE2應(yīng)用均值不等式即可得出取得最小值時(shí)a，b的值，從而得到直線(xiàn)方程，（2）根據(jù)題意設(shè)設(shè)B（x0，y0），P（x1，y1）（y1≠±y0），則C（x0，﹣y0），表示出PB，PC的直線(xiàn)方程，求得xM，xN，從而代入可知OMON為定值.