Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
（1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
（2）求A到面PCD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）在底面直角梯形ABCD中連接AC，利用余弦定理在三角形ACD中求出CD=，從而得出AC⊥CD，所以AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影，得CD⊥PC，因此∠PCA是二面角P-CD-A的平面角，最后在三角形PAC中求出此角的正弦，從而得出二面角P-CD-A的平面角正切值；
（2）過(guò)A作AH⊥PC于H，則AH⊥PC，故AH為A點(diǎn)到平面PCD之距離，在△PAC中，求得PA=1，AC=，PC=，從而得出
AH=，故A點(diǎn)到平面PCD的距離為．
解答：解：（1）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形
且BC∥DA，∠BAC=90°
連接AC，而AB=CB=1，則AC=
又因?yàn)锳D=2，∠CAD=45°
由余弦定理可得CD=，故AC⊥CD
∵PA⊥平面ABCD
∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影
∴CD⊥PC
∴∠PCA是二面角P-CD-A的平面角
又PA=1，AC=，所以PC=，故sin
所以二面角P-CD-A的平面角的正切值等于
（2）由（1）可知DC⊥平面PAC
∴平面PAC⊥平面PCD
過(guò)A作AH⊥PC于H，則AH⊥PC，故AH為A點(diǎn)到平面PCD之距離
在△PAC中，PA=1，AC=，PC=
∴AH=
故A點(diǎn)到平面PCD的距離為
點(diǎn)評(píng)：本題考查了立體幾何中的二面角的計(jì)算，屬于中檔題．在計(jì)算點(diǎn)到平面的距離時(shí)，注意要充分利用線面垂直和面面垂直的性質(zhì)與判定．