Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若對于任意的x，y∈[-1，1]，x+y≠0，均有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（2）解不等式f（x+

1

2

）＜f（1-2x）；
（3）若對于區(qū)間[-1，1]上任意的x₁，x₂均有|f（x₂）-f（x₁）|≤m²-m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用單調(diào)性的定義判斷并證明；
（2）利用單調(diào)性求解不等式；
（3）恒成立問題化為最值問題．

解答： 解：（1）f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，證明如下：
∵x+y≠0，不妨設(shè)x＞-y，
∴（x+y）[f（x）+f（y）]＞0可化為
（x-（-y））[f（x）-（-f（y））]＞0，
又∵函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴-f（y）=f（-y），
∴（x-（-y））[f（x）-f（-y）]＞0，
∴f（x）-f（-y）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）由（1）可知，f（x+

1

2

）＜f（1-2x）可化為
-1≤x+

1

2

＜1-2x≤1，
解得，0≤x＜

1

6

；
（3）∵f（1）=1，∴f（-1）=-1，
∴對于區(qū)間[-1，1]上任意的x₁，x₂，
|f（x₂）-f（x₁）|≤1+1=2，
則對于區(qū)間[-1，1]上任意的x₁，x₂均有|f（x₂）-f（x₁）|≤m²-m成立可化為2≤m²-m，
解得，m≥2或m≤-1．

點評：本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及恒成立問題的處理，屬于難題．