定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，則x2+y2+2x+2y的最小值是   
【答案】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定x+y的取值范圍，然后設(shè)c=x2+y2+2x+2y，整理成（x+1）2+（y+1）2=c+2的形式后轉(zhuǎn)化為可行域上的點(diǎn)到（-1，-1）的距離的平方的最小值的問題求解．
解答：解：∵f'（x）＜0∴該函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)
∵f（x+y）≤1=f（4）
∴x+y≥4
設(shè)c=x2+y2+2x+2y，則（x+1）2+（y+1）2=c+2，表示可行域上的點(diǎn)到（-1，-1）的距離的平方，也表示一個(gè)圓
當(dāng)x+y-4=0與這樣的圓相切時(shí)，其半徑最小，即可行域上的點(diǎn)到（-1，-1）的距離最小
∴=18=c+2∴c=16
故答案為：16
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系以及轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題求最小值的問題．綜合比較強(qiáng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對(duì)任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時(shí)，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)記an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，則在數(shù)列{an}中，a1+a2+…a8=（　�。�
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對(duì)任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關(guān)于函數(shù)f（x）判斷正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對(duì)稱，當(dāng)x≥
3π
4
時(shí)，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對(duì)稱，當(dāng)x≥
3π
4
時(shí)，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設(shè)向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•湖州二模）定義在（0，
π
2
）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　�。�

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