Question

（2011•豐臺(tái)區(qū)二模）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交BA的延長(zhǎng)線于P₁，然后以B為圓心，BP₁長(zhǎng)為半徑畫弧，交CB的延長(zhǎng)線于P₂，再以C為圓心，CP₂長(zhǎng)為半徑畫弧，交DC的延長(zhǎng)線于P₃，再以D為圓心，DP₃長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD的延長(zhǎng)線于P₄，再以A為圓心，AP₄長(zhǎng)為半徑畫弧，…，如此繼續(xù)下去，畫出的第8道弧的半徑是

8

，畫出第n道弧時(shí)，這n道弧的弧長(zhǎng)之和為

n(n+1)π

4

．

Answer 1

分析：對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類題目中的難點(diǎn)．

解答：解由題意知，第一道弧的長(zhǎng)度為1，第二道弧的長(zhǎng)度為2，第三道弧的長(zhǎng)度為3，第四道弧的長(zhǎng)度為4，第五道弧的長(zhǎng)度5為5，第六道弧的長(zhǎng)度為6，第七道弧的長(zhǎng)度為7，第八道弧的長(zhǎng)度為8，
第一段弧的長(zhǎng)度為：

π

2

；
第二段的長(zhǎng)度為：π；，
第三段的長(zhǎng)度為：

3π

2

；
第四段的長(zhǎng)度為：2π；
…
所以各段弧的長(zhǎng)度構(gòu)成一個(gè)以

π

2

為首項(xiàng)，以π為公差的等差數(shù)列，
所以這n道弧的弧長(zhǎng)之和為

n(n+1)π

4

．
故答案為

n(n+1)π

4

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是讀懂題，讀懂了就非常簡(jiǎn)單，主要考查了學(xué)生通過(guò)特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．