Question

15．如圖所示，在正方形ABCD中，點E為邊AB的中點，線段AC與DE交于點P，則tan∠APD=-3

Answer 1

分析 由題意可得△APE∽△CPD，求解直角三角形可得AP、DP的長，由余弦定理求得cos∠APD，進一步得到sin∠APD，再由商的關(guān)系得答案．

解答 解：設(shè)正方形的邊長為1，ABCD為正方形，
有AB∥CD，則∠BAC=∠ACD，又∠APE與∠CPD為對頂角，
則兩角相等，那么△APE∽△CPD，
∵E為AB中點，則$\frac{AE}{CD}=\frac{AP}{CP}=\frac{EP}{DP}=\frac{1}{2}$，
DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，AC=$\sqrt{2}$，
則DP=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，AP=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
由余弦定理得：cos∠APD=$\frac{A{P}^{2}+P{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AP•DP}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$，
sin$∠APD=\sqrt{1-co{s}^{2}∠APD}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴tan∠APD=$\frac{sin∠APD}{cos∠APD}=-3$．
故答案為：-3．

點評 本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合解題思想方法的運用，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．