解:(1)由S
1=a
1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65816.png)
=0得a
1=0,
當(dāng)n≥2時(shí),a
n=S
n-S
n-1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65817.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8151.png)
a
n-1,
故(n-2)a
n=(n-1)a
n-1,
故當(dāng)n>2時(shí),a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59746.png)
a
n-1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59746.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59747.png)
••
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/7082.png)
•a
2=(n-1)p,
由于n=2時(shí)a
2=p,n=1時(shí)a
1=0,也適合該式,故對一切正整數(shù)n,a
n=(n-1)p,a
n+1-a
n=p,
由于p是常數(shù),故數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列.
(2)S
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18867.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65818.png)
,
b
n=![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65819.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65820.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65821.png)
=2+2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/656.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
),
∴T
n=2n+2(1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/36.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/7.png)
++
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12062.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/656.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
)
=2n+2(1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
)
=2n+3-2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
).
(3)c
n=T
n-2n=3-2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
)<3對所有正整數(shù)n都成立;
若c
n>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
,即3-2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
)>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
?
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
,
記f(n)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
,
則f(n)單調(diào)遞減,又
f(6)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/847.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
,
f(7)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/113.png)
<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
,
故只要取N=6,則當(dāng)n>N時(shí),f(n)<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
.
故存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),恒有c
n∈(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
,3).N可以取所有不小于6的正整數(shù).
分析:(1)先利用a
n=S
n-S
n-1 (n≥2)求出數(shù)列的遞推關(guān)系式(n-2)a
n=(n-1)a
n-1,再通過一步步代換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,最后看是否滿足等差數(shù)列的定義即可證明結(jié)論.
(2)先對數(shù)列的通項(xiàng)整理得b
n=2+2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/656.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
),再利用分組求和法求數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和T
n即可;
(3)先由c
n=T
n-2n=3-2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
)知其小于3對所有正整數(shù)n都成立;下面把c
n>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
轉(zhuǎn)化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1419.png)
<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
,利用函數(shù)的單調(diào)性求出滿足條件的n的范圍即可求出對應(yīng)的N值.
點(diǎn)評:本題主要考查數(shù)列的求和以及數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用和數(shù)列與不等式的綜合,是對知識的綜合考查,屬于難題.