Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若，求函數(shù)的所有零點；

(2)若，證明函數(shù)不存在極值．

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）首先將代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的定義域，之后對函數(shù)求導，再對導函數(shù)求導，得到（當且僅當時取等號），從而得到函數(shù)在單調(diào)遞增，至多有一個零點，因為，是函數(shù)唯一的零點，從而求得結(jié)果；

（2）根據(jù)函數(shù)不存在極值的條件為函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合題中所給的參數(shù)的取值范圍，得到在上單調(diào)遞增，從而證得結(jié)果.

（1）解：當 時，，

函數(shù)的定義域為，

且．

設(shè)，

則 ．

當時，；當時，，

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當時，（當且僅當時取等號）．

即當時，（當且僅當時取等號）．

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，至多有一個零點.

因為，是函數(shù)唯一的零點.

所以若，則函數(shù)的所有零點只有．

（2）證法1：因為，

函數(shù)的定義域為，且．

當時，，

由（1）知．

即當時，

所以在上單調(diào)遞增．

所以不存在極值．

證法2：因為，

函數(shù)的定義域為 ，且．

設(shè)，

則 ．

設(shè) ，則與同號．

當 時，由，

解得，．

可知當時，，即，當時，，即，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

由（1）知．

則．

所以，即在定義域上單調(diào)遞增．

所以不存在極值．