已知x,y∈R.求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.

證明（充分性）

若xy≥0,則x,y至少有一個(gè)為0或同號(hào).∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.

（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,則(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,

∴xy=|xy|,∴xy≥0.綜上，命題得證.


解析:

證明（充分性）

若xy≥0,則x,y至少有一個(gè)為0或同號(hào).∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.

（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,則(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,

∴xy=|xy|,∴xy≥0.綜上，命題得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：，f(1)=
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，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，總有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（II）定義數(shù)列{an}：an=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求證：{an}為等比數(shù)列；
（III）若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)y，總有f（y）＞2．設(shè)有理數(shù)x1，x2滿(mǎn)足|x1|＜|x2|，判斷f（x1）和f（x2）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知x,y∈R.求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x,y∈R,且|x|＜1,|y|＜1,

求證:.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x,y∈R,且3x2+2y2≤6,求證:|2x+y|≤.

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同步練習(xí)冊(cè)答案