Question

20．已知三棱錐A-BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=$\sqrt{2}$，點E是BC的中點，點A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點，則該三棱錐外接球的表面積為$\frac{60}{11}π$．

Answer 1

分析 由題意，△BCD為等腰直角三角形，E是外接圓的圓心，點A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點，利用勾股定理，建立方程，求出三棱錐外接球的半徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，△BCD為等腰直角三角形，E是外接圓的圓心，
點A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點F，則BF=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AF=$\sqrt{4-\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
設(shè)球心到平面BCD是距離為h，則1+h²=$\frac{1}{4}$+（$\frac{\sqrt{11}}{2}$-h）²，
∴h=$\frac{2}{\sqrt{11}}$，r=$\sqrt{1+\frac{4}{11}}$=$\sqrt{\frac{15}{11}}$，
∴該三棱錐外接球的表面積為$4π×\frac{15}{11}$=$\frac{60}{11}π$．
故答案為$\frac{60}{11}π$．

點評 本題考查三棱錐外接球的表面積，考查學(xué)生的計算能力，確定三棱錐外接球的半徑是關(guān)鍵．