四個(gè)大小相同的小球分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、2,把它們放在一個(gè)盒子里,從中任意摸出兩個(gè)小球,它們所標(biāo)有的數(shù)字分別為x,y,記ξ=x+y.
(1)求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)設(shè)“函數(shù)f(x)=x2-ξx-1在區(qū)間(2,3)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A,求事件A發(fā)生的概率.
【答案】分析:(1)隨機(jī)變量ξ的可能取值為2,3,4,從盒子中摸出兩個(gè)小球的基本事件總數(shù)為C42=6,然后根據(jù)等可能事件的概率求出相應(yīng)的概率,得到分布列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可;
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)=x2-ξx-1在區(qū)間(2,3)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)可求出ξ的取值,從而求出事件A發(fā)生的概率.
解答:解:(1)由題意,隨機(jī)變量ξ的可能取值為2,3,4;
從盒子中摸出兩個(gè)小球的基本事件總數(shù)為C42=6,
當(dāng)ξ=2時(shí),摸出的小球所標(biāo)的數(shù)字為1,1;
∴P(ξ=2)=
當(dāng)ξ=4時(shí),摸出的小球所標(biāo)的數(shù)字為2,2;
∴P(ξ=4)=
∴可知當(dāng)ξ=3時(shí),P(ξ=3)=1--=
∴ξ的分布列為
                 ξ                 2                 3                4
                P                                                 
故Eξ=2×+3×+4×=3
(2)∵函數(shù)f(x)=x2-ξx-1在區(qū)間(2,3)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)
∴f(2)f(3)<0即(3-2ξ)(8-3ξ)<0
<ξ<且ξ的所求可能取值為2,3,4
∴ξ=2
∴P(A)=P(ξ=2)=
∴事件A發(fā)生的概率為
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn),以及離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望,同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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四個(gè)大小相同的小球分別標(biāo)有數(shù)字把它們放在一個(gè)盒子中,從中任意摸出兩個(gè)小球,它們的標(biāo)號(hào)分別為、,記隨機(jī)變量.

(1)求隨機(jī)變量時(shí)的概率;

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(1)求隨機(jī)變量時(shí)的概率;

(2)求隨機(jī)變量的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。

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(1)求隨機(jī)變量時(shí)的概率;(2)求隨機(jī)變量的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。

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四個(gè)大小相同的小球分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、2,把它們放在一個(gè)盒子中,從中任意摸

出兩個(gè)小球,它們的標(biāo)號(hào)分別為,記.

(1)求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(2)設(shè)“函數(shù)在區(qū)間(2,3)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件,求事件 

發(fā)生的概率.

 

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(本小題滿分12分)

四個(gè)大小相同的小球分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、2,把它們放在一個(gè)盒子里,從中任意摸出兩個(gè)小球,它們所標(biāo)有的數(shù)字分別為、,記

       (Ⅰ)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;

       (Ⅱ)設(shè)“函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件,求事件發(fā)生的概率

 

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