Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（n+1）³．

Answer 1

分析 由4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n，推導(dǎo)出a₁=8，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$（\frac{n+1}{n}）^{3}$，由此利用累乘法能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n，
∴S_n+1=$\frac{（n+2）^{2}{a}_{n}}{4（n+1）}$，①
當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}+1=\frac{（1+2）^{2}{a}_{1}}{4（1+1）}$，解得a₁=8．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+1=$\frac{（n+1）^{2}{a}_{n-1}}{4n}$，②
①-②，得a_n=$\frac{（n+2）^{2}{a}_{n}}{4（n+1）}-\frac{（n+1）^{2}{a}_{n-1}}{4n}$，
∴4n（n+1）a_n=n（n+2）²2a_n-（n+1）³a_n-1，
n[（n+2）²-4（n+1）]a_n=（n+1）³a_n-1，
n³a_n=（n+1）³a_n-1，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$（\frac{n+1}{n}）^{3}$（n≥2），
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$8×（\frac{3}{2}）^{3}×（\frac{4}{3}）^{3}×…×（\frac{n+1}{n}）^{3}$
=（n+1）³．
故答案為：（n+1）³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法、累乘法的合理運(yùn)用．