Question

已知點P（1，m）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，F(xiàn)為焦點，且PF=3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點T（4，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）首先，確定參數(shù)P，然后，求解其方程；
（2）首先，對直線的斜率分為不存在和存在進行討論，然后，確定

OA

•

OB

的取值情況．

解答： 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0），
∴焦點F（

p

2

，0）．
由拋物線定義得：|PF|=1+

p

2

=3，
解得p=3，
∴拋物線C的方程為y²=8x．
（2）（i）①當l的斜率不存在時，
此時直線方程為：x=4，
A（4，4

2

），B（4，-4

2

），
則

OA

•

OB

=-16．
②當l的斜率存在時，設
y=k（x-4），k≠0，
由

y2=8x y=k(x-4)

，可得
k²x²-（8k²+8）x+16k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

8k2+8

k2

，
x₁•x₂=16，
∴y₁•y₂=k²（x₁-4）（x₂-4）
=k²[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]
=k²[16-

4(8k2+8)

k2

+16]
=-32，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=16-32=-16．

點評：本題綜合考查了拋物線的標準方程的求解、拋物線的簡單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系等知識，屬于中檔題．