Question

16．雙曲線和橢圓25x²+9y²=225有公共焦點，它們的離心率之和為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{100}{9}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{44}{9}}=1$．

Answer 1

分析 先根據(jù)橢圓的方程求得焦點坐標(biāo)和離心率，進(jìn)而可知雙曲線的半焦距，設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率之和求得a，再利用c求得b．答案可得．

解答 解：整理橢圓方程得$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$．
∴c₁=$\sqrt{25-9}$=4，
∴焦點坐標(biāo)為（0，4）（0，-4），離心率e₁=$\frac{4}{5}$，
∴設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，
則半焦距c₂=4
∴$\frac{4}{a}+\frac{4}{5}$=2，∴a=$\frac{10}{3}$
∴b=$\frac{2\sqrt{11}}{3}$
∴雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{100}{9}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{44}{9}}=1$．

點評 本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．在求曲線方程的問題中，巧設(shè)方程，減少待定系數(shù)，是非常重要的方法技巧．特別是具有公共焦點的兩種曲線，它們的公共點同時具有這兩種曲線的性質(zhì)，解題時要充分注意．