已知圓C:x2+y2+2x+Ey+F=0(E、F∈R),有以下命題:
①E=-4,F(xiàn)=4是曲線C表示圓的充分非必要條件;
②若曲線C與x軸交于兩個不同點A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2∈[-2,1),則0≤F≤1;
③若曲線C與x軸交于兩個不同點A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2∈[-2,1),O為坐標(biāo)原點,則|
OA
-
OB
|的最大值為2;
④若E=2F,則曲線C表示圓,且該圓面積的最大值為
2

其中所有正確命題的序號是
 
分析:對于①把E和F代入整理后,判斷是否表示一個圓,反之利用表示圓的條件即D2+E2-4F>0進(jìn)行驗證;對于②③把y=0代入方程化簡為一個關(guān)于x的二次方程,根據(jù)△的符號和韋達(dá)定理,進(jìn)行求解;對于④用F表示出圓的半徑平方,利用配方法化簡解析式,求出最值進(jìn)行判斷.
解答:解:①、圓C:x2+y2+2x+Ey+F=0(E、F∈R)中,應(yīng)有 4+E2-4F>0,當(dāng)E=-4,F(xiàn)=4時,
滿足 4+E2-4F>0,曲線C表示圓,但曲線C表示圓時,E不一定等于-4,F(xiàn)不一定等于4,故①正確.
②、若曲線C與x軸交于兩個不同點A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2∈[-2,1),
則 x1、x2  是x2 +2x+F=0的兩根,△=4-4F>0,解得F<0,故 ②不正確.
③、若曲線C與x軸交于兩個不同點A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2∈[-2,1),
∴|
OA
-
OB
|=|
BA
|,
故當(dāng)A點坐標(biāo) 為(-2,0)點,B點坐標(biāo)為(0,0)
此時|
OA
-
OB
|取最大值2,故③正確;
④、由于E=2F,則圓的半徑的平方為
1
4
(4+E2-4F)=
1
4
(4+4F2-4F)=(F-1)2+
3
4

則圓面積由最小值,無最大值,故④不對.
故答案為:①③.
點評:本題考查了二元二次方程表示圓的條件,直線與圓相交時利用判別式的符號以及韋達(dá)定理,還有利用配方法求出圓的半徑的最值,考查知識多,難度大.
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7
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(2)當(dāng)r=1時,試證明:點B一定是單位圓C上的有理點;(說明:坐標(biāo)平面上,橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點為有理點.我們知道,一個有理數(shù)可以表示為
qp
,其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì))
(3)定義:實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當(dāng)0<k<1時,是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”,它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成?若能,請嘗試探索其構(gòu)造方法;若不能,試簡述你的理由.

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x
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=1
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