Question

已知函數f（x）=sinx（2cos²

θ

2

-1）+cosx•sinθ（0＜θ＜π）在x=π處取最小值．
（1）求θ的值；
（2）若f（2x-

π

3

）=

1

3

，且x∈（

3

4

π，π），求sin2x的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,二倍角的正弦

專題：三角函數的求值

分析：（1）化簡得f（x）=sin（x+θ）從而可求θ的值；
（2）若f（2x-

π

3

）=

1

3

，且x∈（

3

4

π，π），可先求f(2x-

π

3

)=cos(2x-

π

3

)=

1

3

，sin(2x-

π

3

)=-

1- 1 9

=

-2

3

2

從而可求sin2x的值．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosθ+cosx•sinθ=sin（x+θ）
∴π+θ=-

π

2

+2kπ⇒θ=-

3

2

π+2kπ，
∴θ=

π

2

（2）f(x)=sin(x+

π

2

)=cosx
∴f(2x-

π

3

)=cos(2x-

π

3

)=

1

3

由

3

4

π＜x＜π⇒

3

2

π＜2x＜2π⇒

3

2

π-

π

3

＜2x-

π

3

＜2π-

π

3

∴sin(2x-

π

3

)=-

1- 1 9

=

-2

3

2

∴sin2x=sin[(2x-

π

3

)+

π

3

]=

1

2

sin(2x-

π

3

)+

3

2

cos(2x-

π

3

)=

-1

2

•

2

3

2

+

3

2

•

1

3

=

- 2

3

+

3

6

點評：本題主要考察三角函數中的恒等變換應用和二倍角的正弦公式的應用，屬于中檔題．