Question

17．已知函數(shù)f（x）=xlnx+e^t-a，若對任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上總有唯一的零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $[e-\frac{1}{e}，e）$
• B． [1，e+1）
• C． [e，e+1）
• D． $（e-\frac{1}{e}，e+1）$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)y=xlnx與函數(shù)y=a-e^t的圖象，利用零點的個數(shù)，得到a的不等式，通過恒成立求解即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=xlnx+e^t-a，可得f′（x）=lnx+1，
所以由f′（x）=0?lnx+1=0?x=$\frac{1}{e}$，x＞$\frac{1}{e}$，
f′（x）＞0，所以f（x）在（0，e^-1）上單調(diào)遞減，
在（e^-1，e）上單調(diào)遞增．函數(shù)f（x）=xlnx+e^t-a，
在坐標(biāo)系中畫出y=xlnx與y=a-e^t的圖象，如圖：
對任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上總有唯一的零點，
可得：0≤a-e^t＜e，
可得e^t≤a＜e^t+e，可得e≤a＜1+e，
即a∈[e，e+1）．
故選：C．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．