Question

實數(shù)x、y滿足x²+y²=4，則x+y-xy的最大值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由實數(shù)x、y滿足x²+y²=4，利用三角函數(shù)代換x=2cosθ，y=2sinθ．令t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)（θ∈[0，2π）），t∈[-

2

，

2

]，可得2sinθcosθ=t²-1．x+y-xy=2cosθ+2sinθ-4sinθcosθ=-2(t-

1

2

)2+

5

2

，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵實數(shù)x、y滿足x²+y²=4，
∴可設(shè)x=2cosθ，y=2sinθ．
令t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)（θ∈[0，2π）），
∴t∈[-

2

，

2

]．
則t²=1+2sinθcosθ，可得2sinθcosθ=t²-1．
∴x+y-xy=2cosθ+2sinθ-4sinθcosθ
=2t-2（t²-1）
=-2(t-

1

2

)2+

5

2

≤

5

2

，
當且僅當t=

1

2

時，x+y-xy取得最大值為

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題考查了圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)代換、三角函數(shù)基本關(guān)系式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了轉(zhuǎn)化方法和計算能力，屬于中檔題．