【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當時,若對任意的恒成立,求實數(shù)的值;
(Ⅲ)求證:
【答案】(Ⅰ)時,單調(diào)遞增區(qū)間為;時,單調(diào)遞減區(qū)間為,
單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)首先求得函數(shù)的導函數(shù),然后根據(jù)和分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)首先由(Ⅰ)中時的單調(diào)性可知,從而構造函數(shù),然后通過求導得到函數(shù)的單調(diào)性,由此得到函數(shù)的最大值,再由對任意的恒成立,得,由此求得的值;(Ⅲ)首先根據(jù)(Ⅱ)將問題轉化為 ,進而將問題等價轉化為證.
試題解析:(Ⅰ)
時,,在上單調(diào)遞增;
時,時,,單調(diào)遞減,
時,,單調(diào)遞增.
(Ⅱ)由(Ⅰ),時,,
,
即,記 .
,
在上增,在上遞減,
,
故,得.
(Ⅲ)由(Ⅱ),即 ,則時,.
要證原不等式成立,只需證:,即證:
下證①
①中令,各式相加,得
成立,
故原不等式成立.
方法二:時,,
時, ,
時, .
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【題目】濟南市開展支教活動,有五名教師被隨機的分到A、B、C三個不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學,且每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學至少一名教師,
(1)求甲乙兩名教師同時分到一個中學的概率;
(2)求A中學分到兩名教師的概率;
(3)設隨機變量X為這五名教師分到A中學的人數(shù),求X的分布列和期望.
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【題目】設函數(shù)f(x)= (其中常數(shù)a>0,且a≠1).
(1)當a=10時,解關于x的方程f(x)=m(其中常數(shù)m>2 );
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣∞,2]上的最小值是一個與a無關的常數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣1+ ,(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點,求k的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ .
(1)求證:f(x)是偶函數(shù);
(2)判斷函數(shù)f(x)在(0, )和( ,+∞)上的單調(diào)性并用定義法證明.
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【題目】設f(x)= 為奇函數(shù),a為常數(shù).
(1)求a的值;并判斷f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若對于區(qū)間(3,4)上的每一個x的值,不等式f(x)> 恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖,三棱柱中, , , 分別為棱的中點.
(1)在平面內(nèi)過點作平面交于點,并寫出作圖步驟,但不要求證明.
(2)若側面側面,求直線與平面所成角的正弦值.
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