Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3+x2-ax(a∈R)．
（1）若a=8，求f（x）在區(qū)間[-6，3]上的最大值；
（2）若g（x）=

3f(x)•ex

x

在（-∞，0）上恰有兩個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=8代入求出函數(shù)的解析式及導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而求出f（x）在區(qū)間[-6，3]上的最大值；
（2）若g（x）=

3f(x)•ex

x

在（-∞，0）上恰有兩個極值點，則g′（x）在（-∞，0）上恰有兩個相異實根，根據(jù)韋達定理及△的符號構(gòu)造不等式組可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)a=8時，函數(shù)f（x）=

1

3

x3+x2-8x．
∴f′（x）=x²+2x-8
令f′（x）=0，則x=-4，或x=2
當(dāng)-6＜x＜-4時，f′（x）＞0，當(dāng)2＜x＜3時，f′（x）＞0，當(dāng)-4＜x＜2時，f′（x）＜0，
∴f（x）_極大值=f（-4）=

80

3

又∵f（-6）=12，f（3）=-6
f（x）的最大值為

80

3

（2）∵g（x）=

3f(x)•ex

x

=（x²+3x-3a）e^x
∴g′（x）=（x²+5x+3-3a）e^x
∵g（x）=

3f(x)•ex

x

在（-∞，0）上恰有兩個極值點，
∴g（x）=0在（-∞，0）上恰有兩個相異實根
即x²+5x+3-3a=0在（-∞，0）上恰有兩個相異實根
∴

△=25-4(3-3a)＞0 3-3a＞0

解得：-

13

12

＜a＜1

點評：本題考查的知識點是根據(jù)導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，函數(shù)在某點取極值的條件，其中熟練掌握導(dǎo)數(shù)法在求函數(shù)單調(diào)性，最值，極值時的步驟是解答的關(guān)鍵．