Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函數(shù)y=-x+12的圖象上．
（Ⅰ）寫出S_n關于n的函數(shù)表達式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{|a_n|}的前n項的和．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)點(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函數(shù)y=-x+12的圖象上，則點的坐標適合方程，代入方程即可求出S_n關于n的函數(shù)表達式；
（II）當n≥2時，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求出通項，驗證首項即可；
（III）由（Ⅱ）知，a₁，a₂，…a₆＞0，數(shù)列{a_n}從第7項起均為負數(shù)，然后討論n與6的大小，利用分段函數(shù)表示數(shù)列{|a_n|}的前n項的和．

解答：解 （Ⅰ）由題設得

Sn

n

=-n+12，即S_n=n（-n+12）=-n²+12n．
（Ⅱ）當n=1時，a_n=a₁=S₁=11；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+12n）-（-（n-1）²+12（n-1））=-2n+13；
由于此時-2×1+13=11=a₁，從而數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=-2n+13．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a₁，a₂，…a₆＞0，數(shù)列{a_n}從第7項起均為負數(shù)．設數(shù)列{|a_n|}的前n項的和為T_n．
當n≤6時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=S_n=-n²+12n；
當n≥7時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₆-a₇-…-a_n
=（a₁+a₂+…+a₆）-（a₇+…+a_n）
=2（a₁+a₂+…+a₆）-（a₁+a₂+…+a₆+a₇+…+a_n）
=2S₆-S_n=n²-12n+72．
所以數(shù)列{|a_n|}的前n項的和為Tn=

-n2+12n n≤6 n2-12n+72，n≥7

．

點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，以及等差數(shù)列的通項公式和求出，屬于中檔題．