Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，試確定m的值，使得在此橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=2x+m對稱．

Answer 1

分析 由題意設(shè)關(guān)于直線y=2x+m對稱的點(diǎn)為A，B，則AB的方程為y=-$\frac{1}{2}x+n$，聯(lián)立橢圓方程與直線方程，由判別式大于0求得n的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)，再分別代入兩條直線方程，得到n與m的關(guān)系，再由n的范圍求得m的范圍．

解答 解：設(shè)關(guān)于直線y=2x+m對稱的點(diǎn)為A，B，則AB的方程為y=-$\frac{1}{2}x+n$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\frac{1}{2}x+n}\end{array}\right.$，消去y整理得：4x²-4nx+4n²-12=0．
即x²-nx+（n²-3）=0．
由△=n²-4n²+12＞0，得-2＜n＜2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=n，{x}_{1}{x}_{2}={n}^{2}-3$，再設(shè)AB的中點(diǎn)為C（x₀，y₀），
則${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{n}{2}$，
又C在y=-$\frac{1}{2}x+n$上，得${y}_{0}=\frac{3}{4}n$，
C在y=2x+m上，得$\frac{3}{4}n=2×\frac{n}{2}+m$，即n=-4m．
則-2＜-2m＜2，得$-\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了存在性問題的求解方法，訓(xùn)練了點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)的求法，是中檔題．