Question

過拋物線y²=4x的焦點引一直線，已知直線被拋物線截得的弦被焦點分成2：1，求這條直線的方程．

Answer 1

分析：先求出拋物線的焦點坐標，然后設出所求弦的兩端點的坐標進而可表示出直線AB的斜率，根據直線被拋物線截得的弦被焦點分成2：1得到

y1

y2

=-2，再結合AB過焦點F(

p

2

，0)可得到y(tǒng)₁y₂=-p²即可得到y(tǒng)₁y₂=-4，最后聯(lián)立

y1

y2

=-2與y₁y₂=-4求出y₁與y₂的值，進而可求得直線AB的斜率得到方程．

解答：解：由y²=4x得焦點F（1，0），設所求弦兩端點為A=(

y12

4

，y1)，B=(

y22

4

，y2)，
直線kAB=

y2-y1

y22 4 - y12 4

=

4

y 1+y 2

①，

y1

y2

=-2②
又AB過焦點F(

p

2

，0)，且y₁y₂=-p²，故y₁y₂=-4③
由②③解得

y1=2 2 y2=- 2

或

y1=- 2 y2=2 2

，
把y₁，y₂代入①式得k=±2

2

，
故所求的直線方程為2

2

x±y-2

2

=0

點評：本題主要考查拋物線的簡單性質和直線的方程的一般式．考查基礎知識的綜合運用．