Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是AC與BD的交點，M是CC₁的中點．
（1）求證：A₁P⊥平面MBD；
（2）求直線B₁M與平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標原點，向量

DA

，

DC

，

DD1

為單位正交基向量，建立空間直角坐標系D-xyz．分別求出向量

A1P

，

DB

，

DM

的坐標，根據(jù)

A1P

•

DB

=0，

A1P

•

DM

=0，得到A₁P⊥DB，A₁P⊥DM，由線面垂直的判定定理得A₁P⊥平面MBD；
（2）分別求出直線B₁M的方向向量與平面MBD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線B₁M與平面MBD所成角的正弦值；
（3）分別求出平面ABM與平面MBD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值．

解答：解：（1）證明：如圖，以D為坐標原點，向量

DA

，

DC

，

DD1

為單位正交基向量，
建立空間直角坐標系D-xyz．則P（

1

2

，

1

2

，0），M（0，1，

1

2

）．

A1P

=（-

1

2

，

1

2

，-1），

DB

=（1，1，0），

DM

=（0，1，

1

2

），所以

A1p•

DB

=0，

A1p•

DM

=0．
所以

A1p

⊥

DB

，

A1p

⊥

DM

又因為BD∩DM=D，所以A₁P⊥平面MBD；
（2）由（1）可知，可取

n

=（1，-1，2）為平面MBD的一個法向量．
又

.

B1M

=（-1，0，-

1

2

），
所以cos＜

n

，

AM

＞=-

2 5

5

所以直線AM與平面MBD所成角的正弦值為

2 5

5

．
（3）

AB

=（0，1，0），

BM

=（-1，0，

1

2

）．
設

n

₁=（x，y，z）為平面ABM的一個法向量，則

n1• AB =0 n1• BM =0

解得

y=0 -x+ 1 2 z=0

即

y=0 z=2x

，故可取

n

₁=（1，0，2）．
由（1）可知，可取

n

=（1，-1，2）為平面MBD的一個法向量．
所以cos＜

n

，

n

₁＞=

1+4

5 × 6

=

30

6

．
所以平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值為

30

6

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中建立適當?shù)淖鴺讼�，將空間直線與平面的垂直、平行問題，線面夾角問題，二面角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．