Question

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線y=-x²-2x+8與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）如果圓C與直線2x-y+a=0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）可設(shè)出圓的一般式方程，利用曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)同一性直接求出參數(shù)，
（2）利用設(shè)而不求思想設(shè)出圓C與直線x-y+a=0的交點(diǎn)A，B坐標(biāo)，通過(guò)OA⊥OB建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理尋找關(guān)于a的方程，通過(guò)解方程確定出a的值．

解答： 解：（1）設(shè)圓x²+y²+Dx+Ey+F=0
x=0，y=8，有64+8E+F=0
y=0，-x² -2x+8=0與x²+Dx+F=0是同一方程，故有D=2，F(xiàn)=-8，E=-7，
即圓方程為x²+y²+2x-7y-8=0．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足方程組

2x-y+a=0 x2+y2+2x-7y-8=0

，消去y，得到方程5x²+（4a-12）x+a²-7a-8=0，
由已知可得判別式△=304+44a-4a²＞0．
在此條件下利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=

12-4a

5

，x₁x₂=

a2-7a-8

5

①，
由于OA⊥OB可得x₁x₂+y_1^y2=0，又y₁=2x₁+a，y₂=2x₂+a，所以可得5x₁x₂+2a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②可得2a²-35a-40=0，
解得a=8或a=-

5

2

，此時(shí)滿足△＞0．
∴a=8或a=-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求解，考查學(xué)生的待定系數(shù)法，考查學(xué)生的方程思想，直線與圓的相交問(wèn)題的解決方法和設(shè)而不求的思想，考查垂直問(wèn)題的解決思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于直線與圓的方程的基本題型．