Question

用總長(zhǎng)44.8m的鋼條制做一個(gè)底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰長(zhǎng)比底邊長(zhǎng)的一半長(zhǎng)1m，那么底面的底邊，腰及容器的高為多少時(shí)容器的容積最大？（參考數(shù)據(jù)2.66²=7.0756，3.34²=11.1556）

Answer 1

分析：設(shè)出底面邊長(zhǎng)為2x，用x表示出三棱柱的底面的腰長(zhǎng)，三棱柱的高，從而得到三棱柱的體積與x的函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，可以利用導(dǎo)數(shù)為工具確定出最大容積時(shí)候的x的值，實(shí)現(xiàn)該問(wèn)題的解答．

解答：解：設(shè)容器底面等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2xm，則腰長(zhǎng)為（x+1）m，
高為

44.8-4x-4(x+1)

3

=

40.8-8x

3

m，
設(shè)容器的容積為Vm³，底面等腰三角形底邊上的高為h=

(x+1)2-x2

=

2x+1

，∴V=

1

2

•2x

2x+1

•

40.8-8x

3

=

40.8x 2x+1 -8x2 2x+1

3

，由x＞0及

40.8-8x

3

＞0，得0＜x＜5.1，
V′=

40.8(2x+1)+40.8x-16x(2x+1)-8x2

3 2x+1

=

-40x2+106.4x+40.8

3 2x+1

，
令V′=0，得x²-2.66x-1.02=0，（x-3）（x+0.34）=0，由x＞0，解得x=3
當(dāng)0＜x＜3時(shí)V′＞0；3＜x＜5.1時(shí)，V′＜0，因此，當(dāng)x=3時(shí)，V有最大值．
答：容器的底面等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6m，腰長(zhǎng)為4m，容器的高為5.6m時(shí)容器的體積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的模型思想和意識(shí)，考查設(shè)未知數(shù)表示函數(shù)關(guān)系的思想，注意實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域，依據(jù)給出的函數(shù)表達(dá)式利用導(dǎo)數(shù)為工具確定所給函數(shù)的最值，考查學(xué)生的導(dǎo)數(shù)工具意識(shí)．