Question

已知函數f（x）=ln（x+1），x∈（0，+∞），下列結論錯誤的是（　　）

• A、?x₁，x₂∈（0，+∞），（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]≥0
• B、?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，+∞），x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
• C、?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，+∞），f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
• D、?x₁，x₂∈（0，+∞），

  f(x1)+f(x2)

  2

  ＞f(

  x1+x2

  2

  )

Answer 1

分析：利用函數y=f（x）在（0，+∞）上為增函數，且增長越來越緩慢，橫坐標越大的點與原點連線的斜率越小，
ln（x+1）-x為減函數，曲線y=f（x）圖象上連接任意兩點線段中點在曲線下方，可得：A、B、C正確，
D不正確．

解答：解：因為函數y=f（x）在（0，+∞）上為增函數，所以（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]≥0，故A正確．
由于x2f(x1)＞x1f(x2)?

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，將k=

f(x)

x

視為曲線y=f（x）上的點與原點連線斜率，
結合函數圖象特征可知橫坐標越大，斜率越小，?x₁∈（0，+∞），?x₂＞x₁滿足條件，故B正確．
當x∈（0，+∞）時，y=f（x）-x=ln（x+1）-x為減函數，?x₁∈（0，+∞），?x₂＞x₁，
f（x₂）-x₂＜f（x₁）-x₁，故C正確．
由于曲線y=f（x）圖象上連接任意兩點線段中點在曲線下方，?x₁，x₂∈（0，+∞），

f(x1)+f(x2)

2

≤f(

x1+x2

2

)，故D錯誤．
故選D．

點評：本題考查函數的單調性，函數的圖象特征，直線的斜率公式的應用．