Question

函數(shù)f(x)=loga(x3-2ax+2a-1)(a＞0，a≠1)在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍（　�。�

• A．[

  1

  2

  ，1)
• B．[

  3

  8

  ，1)
• C．(

  1

  2

  ，1)
• D．(1，

  9

  8

  )

Answer 1

分析：將函數(shù)看作是復(fù)合函數(shù)，令g（x）=x³-2ax+2a-1，將函數(shù)f（x）的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為g（x）恒大于零且g′（x）恒正、恒負(fù)問題，通過分類討論，解決不等式恒成立問題即可得a的范圍

解答：解：設(shè)g（x）=x³-2ax+2a-1=（x-1）（x²+x+1-2a），g′（x）=3x²-2a
當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，函數(shù)f(x)=loga(x3-2ax+2a-1)(a＞0，a≠1)在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)單調(diào)遞增，等價(jià)于g（x）在區(qū)間（-

1

2

，0）內(nèi)單調(diào)遞減且g（x）＞0在區(qū)間（-

1

2

，0）內(nèi)恒成立
∴g′（x）≤0在區(qū)間（-

1

2

，0）內(nèi)恒成立且g（x）＞0在區(qū)間（-

1

2

，0）內(nèi)恒成立
∴3x²-2a≤0恒成立且g（0）≥0
只需

3× 1 4 -2a≤0 2a-1≥0

，解得a≥

1

2

，∴

1

2

≤a＜1
當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f(x)=loga(x3-2ax+2a-1)(a＞0，a≠1)在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)單調(diào)遞增，等價(jià)于g（x）在區(qū)間（-

1

2

，0）內(nèi)單調(diào)遞增且g（x）＞0在區(qū)間（-

1

2

，0）內(nèi)恒成立
∴g′（x）≥0在區(qū)間（-

1

2

，0）內(nèi)恒成立且g（x）＞0在區(qū)間（-

1

2

，0）內(nèi)恒成立
∴3x²-2a≥0恒成立且g（-

1

2

）≥0
由于x=0時(shí)，3x²-2a=-2a＜0，故上式不可能恒成立，故a∈（1，+∞）不合題意
綜上所述：

1

2

≤a＜1
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論和轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，解題時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域．