Question

如圖2-2-2所示,設(shè)AB、CD是夾在兩個(gè)平行平面α、β之間的異面直線段,M、N分別為AB、CD的中點(diǎn),求證:MN∥α.

圖2-2-2

Answer 1

思路分析:要證明MN∥α,由于AB、CD為異面直線,所以要在α內(nèi)找一條直線,證明它與MN平行較為困難,因此可轉(zhuǎn)化為證明過MN的一個(gè)平面與平面α平行.

證法一:過點(diǎn)A作AE∥CD,交α于點(diǎn)E,

∵α∥β,則AECD,即AEDC為平行四邊形.

設(shè)P為AE的中點(diǎn),連結(jié)PN、PM、BE,

則PN∥ED,MP∥BE.

又∵PNα,EDα,∴PN∥α.

同理可得,PM∥α.

又∵PM∩PN=P,

∴平面PMN∥平面α.

又MN平面PMN,

∴MN∥α.

證法二:如圖2-2-3所示,連結(jié)AD,取AD的中點(diǎn)Q,連結(jié)QM、QN,

∵Q、N分別為AD、CD的中點(diǎn),∴QN∥AC.

∵QNβ,ACβ,

∴QN∥β.

∵α∥β,QN∥β,QNα,

圖2-2-3

∴QN∥α,同理可證QM∥α.

∵QM∩QN=Q,∴平面QMN∥α.

∵M(jìn)N平面MNQ.∴MN∥α.

  綠色通道:

本題的證法較多,解題關(guān)鍵是如何處理好條件:AB、CD是兩條異面線段.證法一實(shí)質(zhì)上是把CD在兩平行平面間沿著同一方向移到AE位置,AB和AE可確定一平面,借助于平面幾何來處理問題;證法二是借助于空間四邊形的對角線AD,把AB和CD分別放在兩相交平面內(nèi)來研究.本題還可以連結(jié)CM,延長交α于點(diǎn)R,證明MN∥RD即可.