Question

三棱錐A-BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=

3

，則此三棱錐外接球的體積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意可得BD是Rt△ABD、Rt△CBD公共的斜邊，利用直角三角形的性質(zhì)，得到BD的中點(diǎn)E就是三棱錐A-BCD外接球的球心．Rt△ABD中利用勾股定理算出球直徑為2，得到半徑R=1，再利用球的體積公式即可算出答案．

解答： 解：取BD的中點(diǎn)E，連結(jié)CE、AE，
∵BA⊥AD，BC⊥CD，
∴BD是Rt△ABD、Rt△CBD公共的斜邊，
∵E為BD的中點(diǎn)，∴EC=EA=EB=ED=

1

2

BD
由此可得點(diǎn)E是三棱錐A-BCD外接球的球心．
又∵AB=1，AD=

3

，∴BD=

AD2+AB2

=2，
可得三棱錐A-BCD外接球的直徑為2，半徑R=1，
因此，三棱錐外接球的體積為V=

4πR3

3

=

4π

3

故答案為：

4π

3

點(diǎn)評：本題給出三棱錐滿足的條件，求它的外接球體積．著重考查了球內(nèi)接多面體的性質(zhì)、勾股定理和球的體積公式等知識，屬于中檔題．